Настя Меськова начала заниматься балетом с четырех лет и в 1993 году поступила в Московскую государственную академию хореографии. В том же году она сыграла главную роль в фильме «Балерина», а в 1997 году — в фильме «Маленькая принцесса». В 1999 году получила диплом и стипендию Благотворительного фонда имени Мариса Лиепы, участвовала в гастролях академии в Японии, Германии, Израиле и Норвегии.

К 2015 году в фильмографии Меськовой было шесть фильмов. Широкую известность ей принесла роль в сериале «Сладкая жизнь» (2014). В 2017 году актриса снялась обнаженной в сериале «Троцкий».